On tire aléatoirement trois cartes d’un jeu de n cartes (sans remise), n>4, les cartes sont numérotées de 0 à n-1. X est la variable aléatoire qui représente la somme des valeurs des cartes tirées.
1) Simulez par une fonction X(n) X pour 20 cartes, et renvoyez la valeur de X.
2) a. Simulez par une fonction Xk(n, k) k tirages, et renvoyez la moyenne de X sur ces k tirages.
b. Renvoyez également par la fonction Xk(n, k) le pourcentage de fois où X est supérieur à 2*n.
3) a. Affichez un graphique de la moyenne de X en fonction de n, pour n variant de 5 à 200, et k=1000.
b. Affichez sur ce même graphique le pourcentage de fois où X est supérieur à 2*n en fonction de n, pour n variant de 5 à 200, et k=1000.
c. Affichez la droite d’équation y=1.5x en pointillés rouges sur le graphique précédent, la droite doit être derrière les autres courbes sur le graphique (il faut donc mettre la ligne de code pour créer la droite avant celles pour créer les courbes).
d. Ajoutez un titre, des labels aux axes, une grille et une légende.
On considère un système avec 3 états numérotés 0, 1, et 2. Le système évolue de manière probabiliste selon les transitions suivantes:
La variable aléatoire X représente l’état du système à chaque instant t.
1) Créez une fonction transition_etat(etat) qui prend l’état actuel en entrée et renvoie le nouvel état après une transition aléatoire en fonction des probabilités données, affichez le nouvel état avec comme état actuel l’état 1.
2) Créez une fonction simulation_markov(k) qui simule k transitions successives et renvoie la suite d’états traversés grâce à une liste, affichez cette liste pour k=20.
3) Créez une fonction pourcentages_etats(etats) qui prend en entrée la liste des états et renvoie le pourcentage de fois où le système est dans l’état 0, 1 ou 2 après k transitions. Affichez ces pourcentages pour k=20.
Méthode de Monte-Carlo pour calculer l’aire sous la courbe de exp(x) entre a et b.
Explication de la méthode de Monte-Carlo pour la fonction exp:
max(exp(t)) pour t allant de a à b.exp(x).Consigne :
La fonction monte_carlo_exp prend en entrée les bornes a et b de l’intervalle ainsi que le nombre de points n_points à générer. Elle renvoie l’aire sous la courbe de la fonction exp entre a et b, et affiche un graphique avec la courbe de exp entre a et b, ainsi qu’un nuage de points, avec les points sous la courbe en vert et ceux au-dessus en rouge.
Complétez la fonction monte_carlo_exp.
BONUS: Transformez la fonction monte_carlo_exp pour qu’elle fonctionne pour n’importe quelle fonction mathématique.
import random as rd
import math
import matplotlib.pyplot as plt
def monte_carlo_exp(a, b, n_points):
y_max = max([_____(a + (b - a) * i / 1000) for i in range(1001)])
count_under_curve = 0
xs_in, ys_in = [], []
xs_out, ys_out = [], []
for i in range(_____):
x = rd.uniform(a, b)
y = rd.uniform(0, y_max)
if y <= math.exp(x):
count_under_curve = count_under_curve + _____
xs_in._____(x)
ys_in._____(y)
else:
xs_out._____(x)
ys_out._____(y)
area_rectangle = _____
area_under_curve = (count_under_curve / n_points) * area_rectangle
x_curve = [a + (b - a) * i / 1000 for i in range(1001)]
y_curve = [_____ for x in x_curve]
plt.plot(x_curve, y_curve, color='black', label='exp(x)')
plt._____(_____, _____, color='green', s=1, label='Sous la courbe')
plt._____(_____, _____, color='red', s=1, label='Au-dessus')
plt.xlim(a, b)
plt.ylim(0, y_max)
plt.legend()
plt._____(f"Monte Carlo pour aire sous exp(x) entre {a} et {b}: {round(area_under_curve, 3)}")
plt._____("x")
plt._____("y")
plt._____()
return _____
a = 0
b = 7
n_points = 1000
aire = monte_carlo_exp(a, b, n_points)
print(f"Aire approximative sous exp(x) entre {a} et {b} : {aire}")